Question

如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，，分别是的中点．

（1）证明：平面；
（2）取，若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。

Answer 1

（1）详见解析；（2）

解析试题分析：（1）用线面垂直证，用等腰三角形中线即为高线证即，根据线面垂直得判定定理即可得证。（2）由（1）知平面，则为与平面所成的角。因为为定值，所以最短即最短时角的正弦值最大。故此时。故此可推导出的值，过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角。也可采用空间向量法。
试题解析：解：方法一：（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形，因为为的中点，
所以                                1分
又，因此                       2分
因为平面，平面，
所以                         3分
而平面，平面，
所以平面  .              5分
（2）为上任意一点，连接由（1）知平面，则为与平面所成的角                    6分
在中，，
所以当最短时，即当时，最大 .              7分
此时，     因此
又