Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知推导出数列{a_n+1-2a_n}是首项为3，公比为2的等比数列，于是

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，因此数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，由此能求出an=(3n-1)•2n-2．

解答： 解：由S₂=4a₁+2有a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=3a₁+2=5，
故a₂-2a₁=3，
又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
于是a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
因此数列{a_n+1-2a_n}是首项为3，公比为2的等比数列．
所以a_n+1-2a_n=3×2^n-1，于是

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
因此数列{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
所以an=(3n-1)•2n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．