题目内容
13．
某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（ ）| A． | $\frac{10}{33}$ | B． | $\frac{13}{36}$ | C． | $\frac{13}{23}$ | D． | $\frac{23}{33}$ |
分析 如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B1B，B1C1的中点，F点在A1C1上，且FC1=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$，则该截面为AMNF．利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．
解答 
解：如图所示，由三视图可知：该几何体为正三棱柱的一部分，其中M，N分别为B1B，B1C1的中点，F点在A1C1上，且FC1=$\frac{1}{3}{A}_{1}{C}_{1}$，则该截面为AMNF．
连接MN，并延长交CC1的延长线于点E，交CB的延长线于点D，三棱柱的体积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2×4=4$\sqrt{3}$
设截去的部分和剩余的部分的体积分别为V1，V2，EC1=2，BD=1，
∴${V}_{E-F{C}_{1}N}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．VM-ABD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．VA-DCE=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×9$=3$\sqrt{3}$．
∴V1=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{23\sqrt{3}}{9}$，V2=$4\sqrt{3}$-$\frac{23\sqrt{3}}{9}$=$\frac{13\sqrt{3}}{9}$，
∴$\frac{{V}_{2}}{{V}_{1}}$=$\frac{13}{23}$．
点评 本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A1B=$\sqrt{6}$．
已知圆E：（x-1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2；
如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且M为AE的中点，CE=CA=2BD．
| A． | $\frac{2π}{3}$+$\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$+$\frac{1}{3}$ | C． | $\frac{π}{3}$+$\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}π}{6}$+$\frac{1}{6}$ |
| A． | （0，$\frac{2}{e}$） | B． | （$\frac{1}{e}$，+∞） | C． | （e，+∞） | D． | （-∞，$\frac{1}{e}$] |