Question

18．如图所示，△ABC是边长为2的正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且M为AE的中点，CE=CA=2BD．
（1）求证：DM∥平面ABC；
（2）求证：平面DEA⊥平面ECA；
（3）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理即可证明DM∥平面ABC；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面DEA⊥平面ECA；
（3）利用体积法建立方程即可求点E到平面ACD的距离

解答 证明：（1）过点M在△ABC中作MN∥CE，交AC于N，连接BN，
∵CE⊥平面AB，DB⊥平面ABC
∴CE∥DB
又∵CE=2BD=2，M为AE的中点
∴NM∥CE，NM=$\frac{1}{2}$CE
∴NM∥BD，NM=BD，
∴四边形DMNB是平行四边形
∴DM∥BN
又∵BN平面?ABC，DM?平面ABC
∴DM∥平面ABC…．（4分）
（2）∵CE⊥平面ABC　BN?平面ABC∴CE⊥BN　即BN⊥CE
又∵△ABC是边长为2的等边三角形且N为AC中点∴BN⊥AC
又∵AC∩CE=C　AC，CE?平面ACE∴BN⊥平面ACE
由第（1）问知：BN∥DM
∴DM⊥平面ACE  又∵DM?平面DEA
∴平面DEA⊥平面AEC          …．（8分）
（3）∵CE⊥平面ABC，AC?平面AB∴CE⊥AC
又∵CE=AC=2，∴${S}_{△ACE}=\frac{1}{2}×2×2=2$
由第（1）、（2）问知：DM⊥平面ABC；DM=BN=$\sqrt{3}$
又∵DB⊥平面ABC，AB?平面ABC∴DB⊥AB
即在Rt△DBC中，CD=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$
∴在△ADC中，AD=CD=$\sqrt{5}$，AC=2
∴${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5-1}=2$            …（10分）
设点E到平面ACD的距离为h，
则　$\frac{1}{3}•{S}_{ACE}•DM=\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•h$，即　2-$\sqrt{3}$=2-h，∴h=$\sqrt{3}$
即点E到平面ACD的距离为$\sqrt{3}$           …..（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判断以及点到平面的距离的计算，利用体积法是解决本题的关键．