Question

1．已知圆E：（x-1）²+y²=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S₁，设△BOD的面积为S₂；
（1）设点A的横坐标为x₁，用x₁表示|OA|；
（2）求证：|OA|•|OB|为定值；
（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S₁+S₂，试研究S₁+S₂是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用距离公式，即可用x₁表示|OA|；
（2）分类讨论，计算|OA|•|OB|，即可证明|OA|•|OB|为定值；
（3）由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 （1）解：设A（x₁，y₁），代入圆E：（x-1）²+y²=4，得y₁²=-x₁²+2x₁+3，
∴|OA|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2{x}_{1}+3}$；
（2）证明：设B（x₂，y₂），
同理可得|OB|=$\sqrt{2{x}_{2}+3}$，
∴|OA|•|OB|=$\sqrt{4{x}_{1}{x}_{2}+6（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}$
x₁≠x₂，设直线AB的方程为y=kx，代入圆的方程得（k+1）x²-2x-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{{k}^{2}+1}$，x₁x₂=-$\frac{3}{{k}^{2}+1}$，
代入可得|OA|•|OB|=3，
x₁=x₂，直线过原点，直线AB的方程为x=0，即x₁=x₂=0，代入可得|OA|•|OB|=3，
综上所述，|OA|•|OB|=3为定值；
（3）解：由（2）得|OA|•|OB|=3，同理|OC||OD|=3
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$（|OA||OC|+|OB||OD|）≥$\sqrt{|OA||OC||OB||OD|}$=3，当且仅当|OA||OC|=|OB||OD|时取等号，
此时，S₁+S₂最小值为3，直线AB的方程为y=±x．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查基本不等式的运用，属于中档题．