题目内容
8．苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用 x万元满足p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中 0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品 p万件还需投入成本（10+2p）万元（不含广告费用），产品的销售价格定为（4+$\frac{20}{p}}$）元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．（1）将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数；
（2）问广告费投入多少万元时，厂商的利润最大？
分析 （1）由题意知，$y=（{4+\frac{20}{p}}）p-x-（{10+2p}）$，将$p=3-\frac{2}{x+1}$代入化简即可得出．
（2）y′=$-\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．
解答 解：（1）由题意知，$y=（{4+\frac{20}{p}}）p-x-（{10+2p}）$，将$p=3-\frac{2}{x+1}$代入化简得：$y=16-\frac{4}{x+1}-x（{0≤x≤a}）$．
（2）$y'=-1-\frac{-4}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{-{{（{x+1}）}^2}+4}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=-\frac{{{x^2}+2x-3}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=-\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．
①当a≥1时，x∈（0，1）时，y'＞0，所以函数$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（0，1）上单调递增；
x∈（1，a）时，y'＜0，所以函数$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（1，a）上单调递减，
∴促销费用投入 1万元时，厂家的利润最大．
②当a＜1时，因为函数$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（0，1）上单调递增，$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上所述，当 a≥1时，促销费用投入 1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）| A． | 2 | B． | 8 | C． | $\frac{8}{3}$ | D． | $\frac{16}{3}$ |
| A． | sin（2πx-$\frac{π}{2}$） | B． | sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$） | C． | sin（πx-$\frac{π}{2}$） | D． | sin（πx+$\frac{π}{2}$） |
某三棱柱被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为2的正三角形，则截去部分和剩余部分的体积之比为（ ）| A． | $\frac{10}{33}$ | B． | $\frac{13}{36}$ | C． | $\frac{13}{23}$ | D． | $\frac{23}{33}$ |
| A． | $\frac{20}{3}π$ | B． | $\frac{25}{3}π$ | C． | $\frac{28}{3}π$ | D． | $\frac{32}{3}π$ |
| A． | （4，8） | B． | [4，9） | C． | （-∞，4] | D． | （-∞，9） |