Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{a}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）求|3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$便可得到$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=0$，带入$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，便可由条件求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）根据上面可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-1$，从可以求出$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的值，进而得出$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{a}$；
∴由条件，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$1+2cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$
=0；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$；
（2）由上面$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-1$；
∴$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}+6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$
=9-6+4
=7；
∴$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算及计算公式，以及要求$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$而求$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}$的方法．