Question

13．判断直线l：pcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$与圆C：p=4sinθ的位置关系，若相交，求直线被圆所截得的弦长．

Answer 1

分析 求出直线的直角坐标方程和圆的直角坐标方程，求出圆的圆心（0，2），半径r=2和圆心到直线的距离d，由d＜r，得直线与圆相交，利用勾股定理能求出直线被圆截得的线段的长度．

解答 解：直线l：pcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即ρcosθ+ρsinθ=4，
∴直线l的直角坐标方程为x+y-4=0，
圆C：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程x²+y²-4y=0，圆心C（0，2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16}$=2，
∵圆心C（0，2）到直线l的距离d=$\frac{|0+2-4|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$＜r=2，
∴直线l：pcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$与圆C：p=4sinθ相交，
直线被圆所截得的弦长：
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线被圆截得得线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．