题目内容

4．已知直线y=x+m与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，试讨论直线与双曲线位置关系及相应的m的取值范围．

分析 直线y=x+m与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1联立，消去y，可得7x2+32mx+16m2+144=0，利用判别式，即可得出结论．

解答 解：直线y=x+m与双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1联立，消去y，可得7x2+32mx+16m2+144=0，
△=（32m）2-28（16m2+144）=576m2-28×144，
△＞0，m＜-$\sqrt{7}$或m＞$\sqrt{7}$，直线与双曲线有两个交点；
△=0，m=±$\sqrt{7}$，直线与双曲线有1个交点；
△＜0，-$\sqrt{7}$＜m＜$\sqrt{7}$，直线与双曲线无交点．

点评 本题考查直线与双曲线位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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14．下列有关命题的叙述，正确的序号为②④．
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题．
②“x＞5”是“x2-4x-5＞0”的充分不必要条件．
③曲线$\frac{x^2}{20-m}+\frac{y^2}{6-m}=1\;（m＜6）$与曲线$\frac{x^2}{5-n}+\frac{y^2}{9+n}=1\;（n＞5）$的焦点相同．
④已知命题p：F1，F2是平面内距离为6的两定点，动点M在此平面内，且满足|MF1|+|MF2|=8，则M点的轨迹是椭圆；命题q：F1，F2是平面内距离为6的两定点，动点M在此平面内，且满足||MF1|-|MF2||=6，则M点在轨迹是双曲线；则命题p∧?q是真命题．
15．给定映射：f：（x，y）→（x+2y，y-2x），在映射f下，（3，1）的像为（5，-5）．
12．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，O为坐标原点，若∠BFO=60°，S△ABF=$\sqrt{3}$，则该椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
19．焦点为（0，±3）且与双曲线$\frac{x^2}{2}$-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．
9．设P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}$=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．
16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$，短轴顶点B（0，b），若椭圆内接三角形BMN的重心是椭圆的左焦点F，求椭圆的离心率的取值范围．
13．判断直线l：pcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$与圆C：p=4sinθ的位置关系，若相交，求直线被圆所截得的弦长．
14．（Ⅰ）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是（4，0，）（0，2），求椭圆的方程；
（Ⅱ）与双曲线$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的渐近线，且经过点A（2，-3）的双曲线方程．

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