Question

已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x．
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断函数g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上的单调性，并证之．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得f（x）的表达式；
（2）结合（1）中结论，可得g（x）的解析式，利用作差法，可证明其单调性．．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由条件得：
a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x，
从而

2a=2 2b=4 2a+2c=0

，
解得：

a=1 b=2 c=-1

，]
所以f（x）=x²-2x-1；…（6分）
（2）函数g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上单调递增．理由如下：
g（x）=

f(x)

x

=x-

1

x

-2，
设设任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=x1-

1

x1

-2-（x2-

1

x2

-2）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

），
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
所以函数g（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上单调递增．…（12分）

点评：题考查利用待定系数法求函数模型已知的函数解析式，函数单调性的判定与证明，难度中档．