Question

变量x、y满足

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，
（1）求z=2x+y的最大值；
（2）设z=

y

x

，求z的最小值；
（3）设z=x²+y²，求z的取值范围；
（4 ）设z=x²+y²+6x-4y+13，求z的取值范围．

Answer 1

分析：画出约束条件表示的可行域，通过角点法求出（1）的最大值；
目标函数的几何意义求解（2）；
目标函数的意义到原点的距离的平方求解（3）；
利用表达式的几何意义是可行域上的点到点（-3，2）的距离的平方．求解（4）．

解答：解：由约束条件

x-4y+3≤0 3x+5y-25≤0 x≥1

，
作出（x，y）的可行域如图所示．
由

x=1 3x+5y-25=0

，解得A（1，

22

5

）．
由

x=1 x-4y+3=0

，解得C（1，1）．
由

3x+5y-25=0 x-4y+3=0

，解得B（5，2）．   …．（4分）
（1）z_max=12…．（7分）
（2）∵z=

y

x

∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知z_min=k_OB=

2

5

．…．（10分）
（3）z=x²+y²的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
d_min=OC=，d_max=OB=．∴2≤z≤29…..（13分）
（4）z=x²+y²+6x-4y+13=（x+3）²+（y-2）²的几何意义是可行域上的点到点（-3，2）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到（-3，2）的距离中，d_min=1-（-3）=4，d_max═8．
∴16≤z≤64…（16分）

点评：本题考查简单线性规划的应用，注意目标函数的几何意义是解题的关键，常考题型．