Question

11．某中学高二年级共有8个班，现从高二年级选10名同学组成社区服务小组，其中高二（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；
（2）设x为选出的同学来自高二（1）班的人数，求随机变量x的分布列
（3）变量x的数学期望和方差．

Answer 1

分析 （1）通过分类讨论可得：P=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{7}^{2}+{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$；
（2）由题意可得：X的取值分别为0，1，2，3．利用超几何分布列计算公式即可得出．
（3）利用数学期望与方差计算公式即可得出．

解答 解：（1）P=$\frac{{∁}_{3}^{1}•{∁}_{7}^{2}+{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{49}{60}$；
（2）由题意可得：X的取值分别为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{7}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{7}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（X=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$，
可得X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

（3）由（2）可得EX=0×$\frac{7}{24}$+1×$\frac{21}{40}$+2×$\frac{7}{40}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$，
DX=$（0-\frac{9}{10}）^{2}×\frac{7}{24}$+$（1-\frac{9}{10}）^{2}$×$\frac{21}{40}$+$（2-\frac{9}{10}）^{2}$×$\frac{7}{40}$+$（3-\frac{9}{10}）^{2}$×$\frac{1}{120}$=$\frac{93}{200}$．

点评 本题考查了互斥事件与相互独立事件计算公式、超几何分布列计算公式及其数学期望与方差计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．