Question

20．已知函数$f（x）=2{sin^2}（{x-\frac{π}{6}}）-1$（x∈R），则下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）是最小正周期为π的奇函数
• B． 函数f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{12}$对称
• C． 函数f（x）在区间$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$上是增函数
• D． 函数f（x）的图象关于点$（{-\frac{π}{12}，0}）$对称

Answer 1

分析 将函数f（x）化简，根据三角函数的图象和性质判断即可．

解答 解：函数$f（x）=2{sin^2}（{x-\frac{π}{6}}）-1$=-cos2（x-$\frac{π}{6}$）=-cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（-x）=-cos（-2x-$\frac{π}{3}$）=-cos（2x+$\frac{π}{3}$）≠-f（x），不是奇函数，A不对．
当x=$\frac{π}{12}$时，即f（$\frac{π}{12}$）=-cos（2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不是最值，B不对．
由f（x）在$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}$是单调递减，可得：$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}$．∴函数f（x）在区间$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$上是减函数，C不对．
当x=-$\frac{π}{12}$时，即f（-$\frac{π}{12}$）=-cos（-2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-cos$\frac{π}{2}$=0．函数f（x）的图象关于点$（{-\frac{π}{12}，0}）$对称．D对．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．