Question

如图所示, 在三棱柱中, 底面，.

（1）若点分别为棱的中点，求证：平面；

(2) 请根据下列要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体. 简单地写出一种切割和拼接方法，

 

并写出拼接后的长方体的表面积（不必计算过程）.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

（1）证法一：以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，依题意得、

     .                     

    ∴ ， ， .

 

     ∴.

     ∴.                  

     平面，平面，.

     ∴平面.                          

证法二：连结，

底面，平面，

∴.                                            

，分别为棱的中点，

∴.

，

∴Rt△ Rt△.

∴.

,

∴.

∴.                                          

∴

，

∴平面.

∴.                                             

，

∴平面.                                      

平面，

∴.                                         

同理可证.                                     

，

∴平面.                                        

（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16. 

 

 

 

                                                            

 

                              图甲                            图①

切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为.           

 

 

 

 

 

                                                          

                              图乙                          图②