Question

已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c．
（1）若a，b，c是从{

1

10

，

2

10

，…

9

10

}中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率；
（2）若a，b，c是从（0，1）中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率．

Answer 1

（1）若a，b，c能构成三角形，则a+b＞c，c≥

4

10

．
①若c=

4

10

时，b=

3

10

，a=

2

10

．共1种；
②若c=

5

10

时．b=

4

10

，a=

3

10

，

2

10

．共2种；
同理c=

6

10

时，有3+1=4种；c=

7

10

时，有4+2=6种；c=

8

10

时，有5+3+1=9种；c=

9

10

时，有6+4+2=12种．
于是共有1+2+4+6+9+12=34种．
下面求从{

1

10

，

2

10

，…

9

10

}中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数：
①若a=

1

10

，b=

2

10

，则c=

3

10

，…，

9

10

，有7种；b=

3

10

，c=

4

10

，…，

9

10

，有6种；b=

4

10

，c=

5

10

，…，

9

10

，有5种；…； b=

8

10

，c=

9

10

，有1种．
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种．
同理，a=

2

10

时，有6+5+4+3+2+1=21种；a=

3

10

时，有5+4+3+2+1=15种；a=

4

10

时，有4+3+2+1=10种；a=

5

10

时，有3+2+1=6种；a=

6

10

时，有2+1=3种；a=

7

10

时，有1种．这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种．
∴a，b，c能构成三角形的概率为

34

84

=

17

42

．
（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是

0＜a＜b＜c＜1 a+b＞c 0＜c＜1

．
在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域（如右图阴影部分），
由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可．
又S_阴影=

1

2

，于是所要求的概率为P=

1 2

1

=

1

2

．