Question

已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c．
（Ⅰ）若a，b，c是从1，2，3，4，5中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率；
（Ⅱ）若a，b，c是从区间（0，1）内任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出出在1，2，3，4，5几个数中，任选3个数可能出现的情况有C₅³，再根据三角形的三边关系判断出能构成三角形的情况，再利用概率公式解答即可．
（Ⅱ）a，b，c能构成三角形的充要条件是

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1 a+b＞c a+c＞b b+c＞a

，在空间直角坐标系oabc内画出满足以上条件的区域，如图所示，根据几何概型的计算方法即可求得结果．

解答：解：（Ⅰ）首先任选3个数，共有C₅³=10种情况，
其中能构成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三种情况，
故能构成三角形三边的概率是

3

10

．
（Ⅱ）记Ω={（a，b，c）|

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1

}，a，b，c能构成三角形三边长为事件A，
则A={（a，b，c）|

0＜a＜1 0＜b＜1 0＜c＜1 a+b＞c a+c＞b b+c＞a

}
在空间直角坐标系oabc内画出满足以上条件的区域，如图所示，
可求得正方体的体积是1，三棱锥O-ABC的体积与三棱锥D-ABC和是

1

2

，
由几何概型的计算得，
从区间（0，1）内任取的三个数a，b，c能构成三角形三边长的概率为P（A）=

VO-ABC+VD-ABC

正方体的体积

=

1 2

1

=

1

2

点评：本题考查古典概型和几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

N(A)

N

求解．属中档题．