Question

已知三个正数a，b，c，满足2a≤b+c≤4a，-a≤b-c≤a，则

b

c

+

c

b

的取值范围（　　）

• A．(0，

  10

  3

  ]
• B．[2，

  10

  3

  ]
• C．[2，+∞）
• D．[3，

  10

  3

  ]

Answer 1

分析：先利用线性规划知识求出

c

b

的取值范围，然后运用基本不等式即可求出

b

c

+

c

b

的取值范围．

解答：解：满足条件的点（b，c）构成的可行域如图所示：为四边形ABDC内的部分，包括边界．

由

b+c=2a b-c=a

解得A（

3

2

a，

1

2

a），
由

b+c=2a b-c=-a

解得B（

1

2

a，

3

2

a）．
则k_OA≤

c

b

≤k_OB，即

1

3

≤

c

b

≤3．
令t=

c

b

，则t∈[

1

3

，3]．
所以

b

c

+

c

b

=t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时取等号，
当t=

1

3

时，t+

1

t

=

10

3

，当t=3时，t+

1

t

=

10

3

，所以t+

1

t

的最大值为

10

3

，
故t+

1

t

的取值范围为[2，

10

3

]．
故选B．

点评：本题考查线性规划知识及利用基本不等式求函数最值问题，考查学生综合运用知识解决问题的能力．