Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数m²（m＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点②曲线C关于坐标原点对称③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积的最大值为

1

3

．其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,解三角形,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①由题意曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），由两点的距离公式得到动点的轨迹方程，代入原点，即可判断；
②把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，即可判断；
③求出面积，由轨迹方程解得y²，再配方求得最大值，即可判断．

解答： 解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=m²?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=m⁴（1）将原点代入验证，此方程不过原点，故①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．故②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S=

1

2

×2|y|=|y|，
由（1）式平方化简的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-m⁴=0⇒y²=-x²-1+

4x2+m4

或
y²=-x²-1-

4x2+m4

（舍）  
把三角形的面积式子平方得：S²=y² 对于y²=-x²-1+

4x2+m4

（2）
 令

4x2+a4

=t（t≥m²＞1）⇒x²=

t2-m4

4

，
代入（2）得y²=-

t2

4

+

m4

4

-1+t=-

1

4

（t-2）²+

m4

4

≤

m4

4

，
故可知S≤

1

2

m²，故③错．
故答案为：②．

点评：此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．