Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件知．，b_n=2-2S_n，b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．，由此可求出数列{b_n}的通项公式．
（2）数列{a_n}为等差数列，公差，可得a_n=3n-1．从而，由此能证明数列{c_n}的前n项和．
解答：解：（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，又S₁=b₁，
所以．b₂=2-2（b₁+b₂），则．．
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n．即．．
所以{b_n}是以为首项，为公比的等比数列，于是．
（2）数列{a_n}为等差数列，公差，可得a_n=3n-1．
从而c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•
∴=．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．