Question

（2011•重庆三模）已知函数f(x)=

x

1-x

，若数列{an}满足an=f(an+1)(n∈N*)，且a1=1．
（I）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（II）令b_n=a_na_n+1（n∈N^*），设数列{b_n}的前n项和为S_n，求使得Sn＜

9

10

成立的n的最大值．

Answer 1

分析：（I）将条件a_n=

an+1

1-an+1

变形得

1

an+1

-

1

an

=1，根据等差数列的定义可知数列{

1

an

}是等差数列；
（II）由（I）知求出an=

1

n

，从而求出b_n，然后利用裂项求和法求出{b_n}的前n项和，根据Sn＜

9

10

建立不等式，解之即可求出n的最值范围，即可求出所求．

解答：解：（I）由a_n=

an+1

1-an+1

⇒

1

an

=

1-an+1

an+1

= 

1

an+1

 -1得

1

an+1

-

1

an

=1
∴数列 { 

1

an

 }是首项为

1

a1

=1，公差为1的等差数列
（II）由（I）知

1

an

=n，an=

1

n

∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴{b_n}的前n项和为：Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

由题知1-

1

n+1

＜

9

10

解得n＜9所以n的最大值为8．

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及利用裂项求和法进行求和，同时考查了不等式的解法，属于中档题．