Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n+3=2+a_n，S₉₀=2670，则a₁+a₂+a₃=2．

Answer 1

分析 由a_n+3=2+a_n可得a_n+3-a_n=2，可得a_n+5-a_n+2=2、a_n+4-a_n+1=2，3个式子相加后由等差数列的定义，判断出数列{a_3n-2+a_3n-1+a_3n}是等差数列，并求出首项和公差，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程，化简后即可求出答案．

解答 解：由a_n+3=2+a_n可得a_n+3-a_n=2，
则a_n+5-a_n+2=2，a_n+4-a_n+1=2，且a_n+3-a_n=2，
以上3个式子相加得，（a_n+5+a_n+4+a_n+3）-（a_n+2+a_n+1+a_n）=6，
所以数列{a_3n-2+a_3n-1+a_3n}是首项为a₁+a₂+a₃，公差为6的等差数列，
设a₁+a₂+a₃=x，又S₉₀=2670，
则$30x+\frac{30×29}{2}×6=2670$，解得x=2，
即a₁+a₂+a₃=2，
故答案为：2．

点评 本题考查数列递推公式的化简与变形，等差数列的定义、前n项和公式，以及构造法的应用，考查化简、变形能力．