Question

1．已知函数f（x）=xlnx-ax²-x．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，证明：f（x）在定义域上为减函数；
（2）若a∈R，讨论函数f（x）的零点情况．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入f（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为方程xlnx-ax²-x=0的根情况，由x＞0，得到方程可化为$a=\frac{lnx-1}{x}$，令$h（x）=\frac{lnx-1}{x}$，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=lnx+1-x-1=lnx-x，
令g（x）=lnx-x，则${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；
当x＞1时，g′（x）＜0，
所以g（x）_max=g（1）=-1，
即g（x）=lnx-x＜0，
所以f′（x）＜0，
所以f（x）在定义域上为减函数．
（2）f（x）=xlnx-ax²-x的零点情况，
即方程xlnx-ax²-x=0的根情况，
因为x＞0，所以方程可化为$a=\frac{lnx-1}{x}$，
令$h（x）=\frac{lnx-1}{x}$，则${h^'}（x）=\frac{1-（lnx-1）}{x^2}=\frac{2-lnx}{x^2}$，
令h′（x）=0，可得x=e²，
当0＜x＜e²时，h′（x）＞0，
当x＞e²时，h′（x）＜0，
所以$h{（x）_{max}}=h（{e^2}）=\frac{1}{e^2}$，
且当x→0时，f（x）→-∞；
当x＞e²时，h（x）＞0，
所以h（x）的图象大致如图示：，
当a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$时，方程a=$\frac{lnx-1}{x}$没有根，
当a=$\frac{1}{{e}^{2}}$或a≤0时，方程$a=\frac{lnx-1}{x}$有一个根，
当$0＜a＜\frac{1}{e^2}$时，方程$a=\frac{lnx-1}{x}$有两个根，
所以当$a＞\frac{1}{e^2}$时，函数f（x）无零点，
当$a=\frac{1}{e^2}$或a≤0时，函数f（x）有一个零点，
当$0＜a＜\frac{1}{e^2}$时，函数f（x）有两个零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．