Question

4．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为$\frac{3}{4}$和$\frac{4}{5}$，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是$\frac{19}{400}$．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．

解答 解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，
停止射击时甲射击了两次包括两种情况：
①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，
此时的概率P₁=P（$\overline{A}$•$\overline{B}$•A）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{80}$，
②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，
此时的概率P₂=P（$\overline{A}$•$\overline{B}$•$\overline{A}$•B）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{100}$，
故停止射击时甲射击了两次的概率P=P₁+P₂=$\frac{3}{80}$+$\frac{1}{100}$=$\frac{19}{400}$，
故答案为：$\frac{19}{400}$．

点评 本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，关键是要根据题意将事件是分类（互斥事件）或分步（相互独立事件），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．