Question

12．设P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1右支上的任意一点，O为坐标原点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点，则平行四边形PAOB的面积为15．

Answer 1

分析 方法一：设P的参数方程，求得直线PA的方程，将y=$\frac{5}{6}$x代入，求得A和B点坐标，根据平行四边形PAOB的面积即公式可求得平行四边形PAOB的面积；
方法二：设P点坐标，求得PA方程，将y=$\frac{5}{6}$x代入即可求得A点坐标，利用点到直线的距离公式，d=$\frac{丨5{x}_{0}-6{y}_{0}丨}{\sqrt{36+25}}$，则S=2S_△OPA=|OA|•d，即可求得平行四边形PAOB的面积．

解答 解：方法一：双曲线$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{5}{6}$x，
不妨设P为双曲线右支上一点，其坐标为P（6secφ，5tanφ），
则直线PA的方程为y-5tanφ=-$\frac{5}{6}$（x-6secφ），
将y=$\frac{5}{6}$x代入，解得点A的横坐标为x_A=3（secφ+tanφ）．
同理可得，点B的横坐标为x_B=3（secφ-tanφ）．
  设∠AOF=α，则tanα=$\frac{5}{6}$．
∴平行四边形PAOB的面积为S□PAOB=|OA|?|OB|?sin2α=$\frac{{x}_{A}}{cosα}$•$\frac{{x}_{B}}{cosα}$•sin2α=$\frac{36（se{c}^{2}φ）}{4co{s}^{2}α}$•sin2α=$\frac{36}{2}$•tanα=18×$\frac{5}{6}$=15，
平行四边形PAOB的面积15，
方法二：双曲线$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{25}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{5}{6}$x，P（x₀，y₀）直线PA的方程为y-y₀=-$\frac{5}{6}$（x-x₀），
直线OB的方程为y=$\frac{5}{6}$x，
$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}=-\frac{5}{6}（x-{x}_{0}）}\\{y=\frac{5}{6}x}\end{array}\right.$，解得x_A=$\frac{1}{10}$（6y₀+5x₀）．又P到渐近线OA的距离d=$\frac{丨b{x}_{0}-a{y}_{0}丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{丨5{x}_{0}-6{y}_{0}丨}{\sqrt{36+25}}$，又tan∠xOA=$\frac{5}{6}$∴cos∠xOA=$\frac{6}{\sqrt{36+25}}$，
∴平行四边形OQPR的面积S=2S_△OPA=|OA|•d=$\frac{丨{x}_{0}丨•d}{cos∠xOA}$=$\frac{\sqrt{36+25}}{6}$×$\frac{1}{10}$丨6y₀+5x₀丨×$\frac{丨5{x}_{0}-6{y}_{0}丨}{\sqrt{36+25}}$=$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{10}$×900=15，
故答案为：15．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的参数方程的应用，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．