Question

17．给出下列命题：
①存在实数x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数$y=\frac{{{{sin}^2}x-sinx}}{sinx-1}$是奇函数；
④函数$y=|sinx-\frac{1}{2}|$的周期是π；
⑤函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos（πx）（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于6．
其中正确命题的序号是⑤（把正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①由sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$判断命题错误；
②当α，β是第一象限角且α＞β时cosα＜cosβ不一定成立；
③根据定义域不关于原点对称判断函数y不是奇函数；
④由正弦函数的图象与性质知函数$y=|sinx-\frac{1}{2}|$的周期是2π；
⑤由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．

解答 解：对于①，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
∴不存在实数x，使$sinx+cosx=\frac{3}{2}$，①错误；
对于②，α，β是第一象限角，且α＞β，
则cosα＜cosβ不一定成立，
如α=405°，β=45°时，cos405°=cos45°，②错误；
对于③，函数$y=\frac{{{{sin}^2}x-sinx}}{sinx-1}$=sinx，
其中sinx≠1，即x≠$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴y不是奇函数，③错误；
对于④，由正弦函数的图象与性质知，
函数$y=|sinx-\frac{1}{2}|$的周期是2π，④错误；
对于⑤，由图象变化的法则可知：
y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，
向右平移1个单位得到y=ln|x-1|的图象，再把x轴上方的图象不动，
下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x-1||的图象；
又f（x）=-2cosπx的周期为T=2，如图所示：
两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，
由中点坐标公式可得：x_A+x_B=-2，x_D+x_C=2，x_E+x_F=6，故所有交点的横坐标之和为6，⑤正确；
综上，正确的命题是⑤．
故答案为：⑤．

点评 本题考查了命题真假的判断与应用问题，涉及知识点多，综合性强．