Question

15．已知△ABC中，角A、$\frac{3}{2}{B}$、C成等差数列，且△ABC的面积为$1+\sqrt{2}$，则AC边的最小值是2．

Answer 1

分析 由已知及等差数列的性质可得A+C=3B，结合三角形内角和定理可求B的值，利用三角形面积公式可得$ac=2（2+\sqrt{2}）$，利用余弦定理及基本不等式即可解得AC边的最小值．

解答 解：∵A、$\frac{3}{2}$B、C成等差数列，
∴A+C=3B，
又∵A+B+C=π，
∴$B=\frac{π}{4}$，
∴由${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=1+\sqrt{2}$得$ac=2（2+\sqrt{2}）$，
∵b²=a²+c²-2accosB=${a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac$，及a²+c²≥2ac，
∴${b^2}≥（2-\sqrt{2}）ac=4$，解得：b≥2，
∴b的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．