Question

3．A，B是平面α外不同的两个定点，P为平面α内动点，且cos∠PAB=$\frac{1}{3}$，则P点的轨迹是（　　）

• A． 圆或椭圆
• B． 抛物线或双曲线
• C． 椭圆或双曲线
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 以AB为轴线，A为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为arcsin$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则圆锥面上的任意一点与A连线，都能满足cos∠PAB=$\frac{1}{3}$，用平面α截圆锥所得的交线即为点P的轨迹．

解答 解：∵cos∠PAB=$\frac{1}{3}$，∴sin∠PAB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则∠PAB=arcsin$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
以AB为轴线，A为顶点，顶角是arcsin$\frac{2\sqrt{2}}{3}$作圆锥，则P就是这个锥面与平面α的交线．
如果平面α只与圆锥面一面相交，那么P的轨迹是圆或椭圆或抛物线；
如果P与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以A为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），则轨迹是双曲线．
∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．
故选：D．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答此题的关键，是中档题．