题目内容

15．在平行四边形ABCD中，若（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=0，则有（　　）
A．$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=0B．$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$=0C．ABCD为矩形D．ABCD为菱形

分析 由平方差公式，结合向量的平方即为模的平方，即可判断四边形ABCD的形状．

解答 解：由（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=0，
可得$\overrightarrow{AB}$2-$\overrightarrow{AD}$2=0，即为|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|，
由平行四边形ABCD，可得四边形ABCD为菱形．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查四边形的形状的判断，属于基础题．

练习册系列答案
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5．设条件P：存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立．现给出以下函数，其中满足条件P的是（1），（2）
（1）f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+x+1}}$；
（2）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤2|x1-x2|成立．
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x•{2}^{x}（x≤0）}\\{\frac{sinx}{x}（x＞0）}\end{array}\right.$．
6．复数z1=1+icosθ，z2=sinθ-i，则|z1-z2|的最大值为（　　）
A．3-2$\sqrt{2}$B．$\sqrt{2}-1$C．3+2$\sqrt{2}$D．$\sqrt{2}+1$
3．已知在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若向量$\overrightarrow{m}$=（cosB，sinC），$\overrightarrow{n}$=（cosC，-sinB），且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求∠A的大小；
（2）若边a=$\sqrt{2}$且cosB=$\frac{3}{5}$，求△ABC的边c的大小．
10．已知（1+2x）n=a0+a1（x-$\frac{1}{2}$）+a2（x-$\frac{1}{2}$）2+…+an（x-$\frac{1}{2}$）n（其中n∈N*），若a1+a2+…+an=240，则x3的系数是（　　）
A．16B．32C．31D．36
3．设F（-c，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过F作直线l与双曲线左、右两支分别交于点A、B，其中B点的横坐标为$\frac{c}{2}$，若$\overrightarrow{FA}$=$λ\overrightarrow{AB}$，且λ∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]，则双曲线的离心率e的取值范围是[$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$]．
10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为$\sqrt{3}$x-y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．
（Ⅰ）求此双曲线方程；
（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．
7．已知F1，F2是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦点，过F1的直线交椭圆于C，D两点，△CDF2的周长为8，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆E交于A，B且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，求证原点O到直线l的距离为定值．
8．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），其焦距为2，且过点$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为（　　）
A．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$B．$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2

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