Question

【题目】设，函数，函数.

（1）当时，求函数的零点个数；

（2）若函数与函数的图象分别位于直线的两侧，求的取值集合；

（3）对于，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）当n=1时，f（x）=，f′（x）=（x＞0），确定函数的单调性，即可求函数y=f（x）的零点个数；

（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象分别位于直线y=1的两侧，n∈N*，函数f（x）有最大值f（）=＜1，即f（x）在直线l：y=1的上方，可得g（n）=＞1求n的取值集合A；

（3）x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣g（x2）|的最小值等价于，发布网球场相应的函数值，比较大小，即可求|f（x1）﹣g（x2）|的最小值．

（1）当时，，.

由得；由得.

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，，

所以函数在上存在一个零点；

当时，恒成立，

所以函数在上不存在零点.

综上得函数在上存在唯一一个零点.

（2）由函数求导，得，

由，得；由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

则当时，函数有最大值；

由函数求导，得，

由得；由得.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

则当时，函数有最小值；

因为，函数的最大值，

即函数在直线的下方，

故函数在直线：的上方，

所以，解得.

所以的取值集合为.

（3）对，的最小值等价于，

当时，；

当时，；

因为，

所以的最小值为.