Question

【题目】设函数.

(1)若为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

(2)若，当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

(1)求得的导数，，得到方程的判别式，分和、三种讨论，求得函数的单调性，即可求解；

(2)由，当时，只需，

故只需证明当时，，求得函数的单调性与最值，即可求解.

(1)由题意，函数的定义域为，则，

方程的判别式.

(ⅰ)若，即，在的定义域内，故单调递增．

(ⅱ)若，则或.

若，则，.

当时，，当时，，

所以单调递增．

若，单调递增．

(ⅲ)若 ，即或，

则有两个不同的实根，

当时，，从而在的定义域内没有零点，

故单调递增．

当时，，在的定义域内有两个不同的零点，

即在定义域上不单调．综上：实数的取值范围为.

(2)因为，

当，时，，

故只需证明当时，.

当时，函数在上单调递增，

又，故在上有唯一实根，且，

当时，，当时，，

从而当 时，)取得最小值．

由得，即，

故，

所以.

综上，当时，.