Question

【题目】已知函数，在点处的切线方程为．

（1）求的解析式；

（2）求的单调区间；

（3）若函数在定义域内恒有成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）;（2） 的单调增区间为，单调减区间为;

（3）．

【解析】【试题分析】（1）借助导数的几何意义建立方程组求解；（2）先求导再借助导数与函数单调性之间的关系求解；（3）先将不等式进行等价转化，再分离参数借助导数知识求其最值，即可得到参数的范围。

（1）由题意，得，

则，∵在点处的切线方程为，

∴切线斜率为，则，得，

将代入方程，得，解得，

∴，将代入得，

故．

（2）依题意知函数的定义域是，且，

令，得，令，得，

故的单调增区间为，单调减区间为．

（3）由，得，

∴在定义域内恒成立．

设，则，

令，得．

令，得，令，得，

故在定义域内有极小值，此极小值又为最小值．

∴的最小值为，

所以，即的取值范围为．