Question

7．已知点Q为抛物线C：y²=2px（0＜p＜6）上任意一点，Q到抛物线C准线的距离与其到点N（7，8）距离之和最小值是10，过x轴的正半轴上的点T（t，0）的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）求抛物线方程；
（2）是否存在实数t，使得不论直线l绕点T如何转动，$\frac{1}{|AT{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BT{|}^{2}}$为定值？

Answer 1

分析 （1）分N在抛物线内外两种情况讨论，根据抛物线的性质列方程得出p；
（2）设l方程为x=my+t，联立方程组得出A，B两点坐标与m，t的关系，代入两点间的距离公式化简即可得出结论．

解答 解：（1）①若N在抛物线内部，
则Q到抛物线C准线的距离与其到点N距离之和得最小值等于N到准线的距离，
∴$\frac{p}{2}$+7=10，解得p=6，不符合题意．
②若N在抛物线外部，则Q到抛物线C准线的距离与其到点N（7，8）距离之和的最小值等于|NF|．
∴$\sqrt{（7-\frac{p}{2}）^{2}+{8}^{2}}$=10，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）设直线l的方程为x=my+t，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，得y²-4my-4t=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∴$\frac{1}{|AT{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-t）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}$．
$\frac{1}{|BT{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{2}-t）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{2}}^{2}}$．
∴$\frac{1}{|AT{|}^{2}}+\frac{1}{|BT{|}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{（1+{m}^{2}）{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+\frac{t}{2}}{（1+{m}^{2}）{t}^{2}}$．
∴当$\frac{t}{2}$=1即t=2时，$\frac{1}{|AT{|}^{2}}+\frac{1}{|BT{|}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴存在实数t=2使得$\frac{1}{|AT{|}^{2}}+\frac{1}{|BT{|}^{2}}$为定值．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．