Question

3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S₁，S₂，是否存在直线l，使得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{64}{65}$？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；
（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x_M、x_N、x_P及x_Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．

解答 解：（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，且2ab=4$\sqrt{3}$，且a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
（2）由（1）可知，A（0，-$\sqrt{3}$），则直线AM的方程为y=kx-$\sqrt{3}$，
将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k²）x²-8$\sqrt{3}$kx=0，
解得x_M=$\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，
直线AN的方程y=-$\frac{1}{k}$-$\sqrt{3}$，同理可得：x_N=-$\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{3}}\\{y=\frac{{k}^{2}-1}{k}x}\end{array}\right.$解得x_P=$\sqrt{3}$k，同理可得x_Q=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN}{\frac{1}{2}AP•AQ}$=丨$\frac{-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}•\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}}{-\sqrt{3}k•\frac{\sqrt{3}}{k}}$丨=$\frac{64{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）（3{k}^{2}+4）}$=$\frac{64}{65}$，
即3k⁴-10k²+3=0，
解得k²=3或k²=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{{k}^{2}-1}{k}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
故存在直线l：y=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，y=-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，满足题意．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、对角线相互垂直的四边形的面积计算公式、三角形面积公式，要求有较强的推理能力和计算能力，属于中档题，．