Question

已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）对任意的α，β∈（0，+∞），试比较f(

α+β

2

)与

f(α)+f(β)

2

的大小；
（Ⅱ）证明：f（

e

2014

）+f（

2e

2014

）+…+f（

4026e

2014

）+f（

4027e

2014

）＜4027．（其中e=2.71718…）

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用不等式证明ln

α+β

2 αβ

≥0，f（

α+β

2

）≥

f(α)+f(β)

2

即可．（2）根据（1）结论放缩可证明．

解答： 解：（1）?α，β∈（0，+∞）
f（

α+β

2

）-

f(α)+f(β)

2

=ln

α+β

2

-

lnα+lnβ

2

=ln

α+β

2

-ln

αβ

=ln

α+β

2 αβ

又α+β-2

αβ

=（

α

+

β

）²≥0，
∴

α+β

2 αβ

≥1，
∴ln

α+β

2 αβ

≥0，
∴f（

α+β

2

）≥

f(α)+f(β)

2

（仅有α=β时等号成立）
（2）

当 α+β 2 =e时，f( α+β 2 )=1 由(1)知f(α)+f(β)≤2f( α+β 2 )=2…7(分) 于是f( e 2014 )+f( 2e 2014 )+…+f( 4026e 2014 )+f( 4027e 2014 ) ＜ 2+2+…+2 2013 +f( 2014e 2014 )=4026+1=4027 即有f( e 2014 )+f( 2e 2014 )+…+f( 4026e 2014 )+f( 4027e 2014 )＜4027．…9(分)

点评：本题考查了函数的性质，不等式的关系，对数的运算属于综合题．