Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；

（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．

解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，

∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，

所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．

（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，

t1+t2＝，由|PM|＝，

所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），

所以sinα＝．