Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为证明 恒成立．设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，要证明g（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明在上单调递增，根据函数的单调性证明即可．

详解：

（1）由于.

1）当时，，当时，，递增，

当时，，递减；

2）当时，由得或.

当时，，当时，，递增，

当时，，递减，

当时，，递增；

当时，，递增；

③当时，.

当时，，递增，

当时，，递减，

当时，，递增.

综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；

当时，在，上是增函数，在上是减函数；

当时，在上是增函数；

当时，在，上是增函数，在上是减函数.

（2）依题意 恒成立.

设，则上式等价于，

要证明对任意，恒成立，

即证明在上单调递增，又，

只需证明即可.令，则，

当时，，当时，，

∴，即，，那么，当时，，所以 ；当时，， ，

∴恒成立.从而原不等式成立.