Question

12．已知函数f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在如图的直角坐标系中画出函数求f（x）的图象，并求不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可．
（2）画图，并由图象得到结论．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²-2x=-x²-2x，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴f（x）=x²+2x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）其图象如图所示，
由图象可知，f（x）＜0的解集为（-2，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数解析式的求解，利用了奇函数的性质f（x）=-f（-x），以及函数图象的画法和不等式的解法，属于基础题．