Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-2^n-1，已知a₁=t，则下列说法正确的是①
①数列{S_n+2ⁿ}是等比数列；
②当t≠-2时，数列{a_n}的通项公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1；
③若a_n+1≤a_n成立，则t的范围是t≤-$\frac{3}{2}$；
④若a_n+1≥a_n，则t的最小值是-2．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{2}^{n-1}$，然后利用等比数列的定义可得数列{S_n+2ⁿ}是等比数列；求出等比数列的通项公式，代入S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-2^n-1，可得n≥2时数列{a_n}的通项公式a_n=2（t+2）•3^n-2-2^n-1，验证首项不成立，说明②错误；再利用作差法，化为关于n的函数，可得使a_n+1≤a_n成立和使a_n+1≥a_n成立的t的取值范围．

解答 解：①∵S_n=$\frac{{a}_{n+1}}{2}$-2^n-1，
∴$\frac{{S}_{n}+{2}^{n}}{{S}_{n-1}+{2}^{n-1}}=\frac{\frac{{a}_{n+1}}{2}-{2}^{n-1}+{2}^{n}}{\frac{{a}_{n}}{2}-{2}^{n-2}+{2}^{n-1}}$，
∵${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{{a}_{n+1}}{2}-{2}^{n-1}-\frac{{a}_{n}}{2}+{2}^{n-2}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{2}-{2}^{n-2}$，
∴${a}_{n+1}=3{a}_{n}+{2}^{n-1}$，代入$\frac{{S}_{n}+{2}^{n}}{{S}_{n-1}+{2}^{n-1}}=\frac{\frac{{a}_{n+1}}{2}-{2}^{n-1}+{2}^{n}}{\frac{{a}_{n}}{2}-{2}^{n-2}+{2}^{n-1}}$，
可得$\frac{{S}_{n}+{2}^{n}}{{S}_{n-1}+{2}^{n-1}}=3$，
∴数列{S_n+2ⁿ}是等比数列，故①正确；
②∵数列{S_n+2ⁿ}是等比数列，且${S}_{1}+{2}^{1}={a}_{1}+2=t+2$，
∴${S}_{n}+{2}^{n}=（t+2）•{3}^{n-1}$，则${S}_{n}=（t+2）•{3}^{n-1}-{2}^{n}$，
${S}_{n-1}=（t+2）•{3}^{n-2}-{2}^{n-1}$（n≥2），
∴当n≥2时，${a}_{n}=2{S}_{n-1}+{2}^{n-1}$=2（t+2）•3^n-2-2ⁿ+2^n-1=2（t+2）•3^n-2-2^n-1，
验证首项不成立，故②不正确；
③${a}_{n}=2（t+2）•{3}^{n-2}-{2}^{n-1}$，${a}_{n+1}=2（t+2）•{3}^{n-1}-{2}^{n}$，
若a_n+1≤a_n，则2（t+2）•3^n-1-2ⁿ-2（t+2）•3^n-2+2^n-1=4（t+2）•3^n-2-2^n-1≤0，
即$4（t+2）≤\frac{{2}^{n-1}}{{3}^{n-2}}=2•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，∴t+2＜0，则t＜-2，故③错误．
④由③知，a_n+1≥a_n，则$4（t+2）≥2•（\frac{2}{3}）^{n-2}$，4（t+2）≥3，即t$≥-\frac{5}{4}$，故④错误．
∴说法正确的是①②．
故答案为：①．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查数列的函数特性，考查计算能力，是难题．