Question

7．已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{AB}$．
（1）若λ=2，且$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，求μ的值；
（2）若对任意实数μ，恒有A，B，M三点共线，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量垂直，它们的数量积为0，列出方程求出μ的值；
（2）根据平面向量的坐标运算，求出向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AM}$，再利用两向量共线，列出方程，求出λ的值．

解答 解：（1）∵A（0，2），B（4，6），
λ=2时，$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{AB}$，
且$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AB}$=0
∴（2$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0
2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AB}$+μ${\overrightarrow{AB}}^{2}$=0
$\overrightarrow{OA}$=（0，2），$\overrightarrow{AB}$=（4，4）
∴4×4+32μ=0
解得μ=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵对任意实数μ，恒有A，B，M三点共线，
∴$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AM}$是共线向量，
又∵$\overrightarrow{AB}$=（4，4），
$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{AB}$=（0，2λ）+（4μ，4μ）=（4μ，2λ+4μ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（4μ，2λ+4μ-2），
∴4（2λ+4μ-2）-4×4μ=0，
解得λ=1．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的平行和垂直的应用问题，是综合性题目．