Question

14．已知直线l经过坐标原点，且与圆x²+y²-4x+3=0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，又直线l过原点且与圆相切，得到直线l的斜率存在，所以设出直线l的方程为y=kx，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，由图象得到满足题意的k的值，写出直线l的方程即可．

解答 解：把圆方程化为标准方程得：（x-2）²+y²=1，
所以圆心坐标为（2，0），圆的半径r=1，
由直线l过原点，当直线l的斜率不存在时，不合题意，
则设直线l的方程为y=kx，
因为直线l与已知圆相切，所以圆心到直线的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=1，
化简得：k²=$\frac{1}{3}$，解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，又切点在第四象限，
根据图象，得到满足题意的k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则直线l的方程为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
故答案为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．

点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．