Question

6．已知函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}），x∈R$
（1）求f（0）的值；
（2）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x取值的集合；
（3）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，求得f（0）的值．
（2）由条件利用正弦函数的最大值，求得函数f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时x取值的集合．
（3）根据正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由函数$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}），x∈R$，可得$f（0）=2sin（-\frac{π}{6}）=-1$．
（2）当$sin（2x-\frac{π}{6}）=1$时，f（x）_max=2．
此时$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，得$x=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$．
∴f（x）取最大值时x取值的集合为$\{x|x=kπ+\frac{π}{3}，k∈Z\}$．
（3）由$2k-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，求得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
∴f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]，k∈Z$．

点评 本题主要考查正弦函数的最值和单调性，属于基础题．