Question

如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.
（1）证明平面；
（2）若二面角P-AD-B为，
①证明：平面PBC⊥平面ABCD
②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
 

Answer 1

(1)详见解析， (2)①详见解析，②

试题分析：(1)证明线面平行，一般利用线线平行进行证明.本题条件中的中点较多，所以取PB中点M,利用中位线性质找寻平行条件.因为F为PC中点，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.，(2)①证明面面垂直，关键在一个面内找出另一平面的垂线.经分析BE平面PBC.这是因为通过计算可得BEPB, 又BC//AD,BEAD,从而BEBC,②求线面角，关键是找面的垂线，由①知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，下面只需分别求出BE与EF的值即可.在三角形ABP中，可求得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为
证明(1)如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.

(2)①连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2.在三角形ABD中，由,可解得BE=1.在三角形PEB中，PE="2," BE="1," ,由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB,又BC//AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,②连接BF，由①知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP为直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为