Question

8．已知函数f（x）满足：①f（x）的定义域为R②对任意m，n∈R，有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）③f（1）=$\frac{3}{2}$，求证：
（1）f（x）是偶函数；
（2）对于任意x∈R，f（x）≥-1；
（3）f（10）＞f（9）＞…＞f（2）＞f（1）．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义证明f（x）是偶函数；
（2）先求出f（0）=1，然后令m=n，即可证明对于任意x∈R，f（x）≥-1；
（3）利用赋值法分别求出f（x）的函数值，x=1，2，…10得值，即可证明f（10）＞f（9）＞…＞f（2）＞f（1）．

解答 证明：（1）∵对任意m，n∈R，有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）
令m=n=x，则f（2x）+f（0）=2f（x）f（x），
令m=-x，n=x，则f（2x）+f（0）=2f（x）f（-x），
故f（x）=f（-x）恒成立，
即f（x）是偶函数；
（2）令m=1，n=0，
则f（1）+f（1）=2f（1）f（0），
即2f（1）=2f（1）f（0），
则f（0）=1，
令m=n，则f（2m）=2²f（m）-1≥-1，
即对于任意x∈R，f（x）≥-1；
（3）令m=n=1，则f（2）=2f²（1）-1=$\frac{7}{2}$，
同理得f（3）=9，f（4）=$\frac{47}{2}$，f（5）=$\frac{123}{2}$，f（10）=$\frac{142×122}{2}$，
则f（10）＞f（9）＞…＞f（2）＞f（1）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．