Question

18．设x→x₀时，|g（x）|≥M（M是一个正的常数），f（x）是无穷大．证明：f（x）g（x）是无穷大．

Answer 1

分析 直接利用微积分的概念加以证明．

解答 证明：由于|g（x）|≥M，即存在K＞0，?₁＞0，使得：当0＜|x-x₀|＜?₁ 时，|g（x）|≥M，
任取K＞0，由于f（x）是无穷大，因此存在?₂＞0，使得当0＜|x-x₀|＜?₂时，有|f（x）|＞M+K成立，
取?=min{?₁，?₂}，则当0＜|x-x0|＜?时，|g（x）|≥M与|f（x）|＞M+K同时成立．
因此：|f（x）g（x）|=|f（x）||g（x）|＞（M+K）M，
因此当x→x₀时，f（x）g（x）是无穷大．

点评 本题考查无穷大量的证明，关键是运用微积分的概念，是中档题．