已知椭圆:C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.一条准线:x=2．(1)求椭圆C的方程,(2)设O为坐标原点.M是l上的点.F为椭圆C的右焦点.过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于P.Q两点．①若PQ=$\sqrt{6}$.求圆D的方程,②若M是l上的动点.求证:P在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知椭圆：C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线：x=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于P，Q两点．
①若PQ=$\sqrt{6}$，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证：P在定圆上，并求该定圆的方程．

分析（1）由题意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，解方程可求a，c利用b²=a²-c²，可求b，即可求解椭圆C的方程；
（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知PQ=6，可求t，进而可求圆D的方程；
②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断．

解答解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
即有b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），
圆心D（1，$\frac{1}{2}$t），半径为$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}}$，
则圆D的方程：（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$t）²=1+$\frac{1}{4}$t²，
直线PQ的斜率为-$\frac{2}{t}$，
则直线方程：2x+ty-2=0，
∴由弦长公式可得，2$\sqrt{1+\frac{1}{4}{t}^{2}-（\frac{|2+\frac{1}{2}{t}^{2}-2|}{\sqrt{4+{t}^{2}}}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴t²=4，t=±2．
∴圆D的方程：（x-1）²+（y-1）²=2或（x-1）²+（y+1）²=2；
②证明：设P（x₁，y₁），
由①知：$\left\{\begin{array}{l}{（{x}_{1}-1）^{2}+（{y}_{1}-\frac{1}{2}t）^{2}=1+\frac{1}{4}{t}^{2}}\\{2{x}_{1}+t{y}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-2{x}_{1}-t{y}_{1}=0}\\{2{x}_{1}+t{y}_{1}-2=0}\end{array}\right.$，
消去t得：x₁²+y₁²=2，
∴点P在定圆x²+y²=2上．