Question

a是实数，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)，用定义证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析：设两个实数数x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差变形整理，再讨论得f（x₁）＜f（x₂），由此即可得到f(x)=a-

2

2x+1

在区间（0，2）上为减函数．

解答：证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)-------------（2分）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，-----------------（4分）
∵指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，可得2x1-2x2＜0，---------------------（6分）
又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，--------------（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
由此可得，对于任意a，f（x）在R上为增函数．----------（10分）

点评：本题通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．