Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin A，cos A），$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+4cos Asin xcos x（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，即sin A-$\sqrt{3}$cos A=0，化简求得tan A的值，可得∠A的值．
（2）利用两角和的正弦公式化简 f（x）的解析式，根据0≤x≤$\frac{π}{2}$，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$可得，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，即sin A-$\sqrt{3}$cos A=0，从而有tan A=$\sqrt{3}$，
又因为A为锐角，所以∠A=60°．
（2）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos 2x+2sin xcos x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
因为0≤x≤$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，于是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，从而-$\sqrt{3}$≤f（x）≤2，
故函数f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，两角和的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．