Question

4．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow c$，且$\overrightarrow{EF}$=$x\overrightarrow a+y\overrightarrow b+z\overrightarrow c$，则x，y，z的值分别为（　　）

• A． $-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到$\overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．

解答 解：如图，
根据条件，$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$；
又$\overrightarrow{EF}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$；
∴$x=-\frac{1}{2}，y=-\frac{1}{2}，z=\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 考查 向量的加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．