Question

【题目】如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.

（1）证明：对任意，总有∥平面；

（2）当的长度最小时，求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

作∥，交于点，作∥，交于点，连接.通过证明四边形为平行四边形,可得∥,再根据直线与平面平行的判断定理可证.

(2)根据题意计算得 ,再配方可得取最小值时 分别为的中点,再取 为 , 连接，，,

可得是二面角的平面角,再计算可得.

（1）证明：如图，作∥，交于点，

作∥，交于点，连接.

由题意得∥，且，则四边形为平行四边形.

∴∥.

又∵，，

∴∥.

（2）由（1）知四边形为平行四边形，∴.

∵，∴.

∵，∴，.

即，

故当时，的长度有最小值。

分别取，的中点、，连接，，。

易知，，故是二面角的平面角

在中，。所以.