Question

11．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，DF⊥AB于点F，且AE=8，AB=10．
在上述条件下，给出下列四个结论：
①DE=BD；②△BDF≌△CDE；③CE=2；④DE²=AF•BF，则所有正确结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 利用角平分线的性质和全等三角形的判定可以判断①②的正误；利用排除法可以判断③④的正误．

解答 解：∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，DC=DB，
∴△BDF≌△CDE，所以①不正确，②正确；
∵∠BAC的平分线为AD，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴AE=AF=8．
又∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF=AB-AF=10-8=2，故③正确；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DF⊥AB，
∴△DBF∽△ADF，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$，即DF²=AF•BF，
∴DE²=AF•BF，故④正确；
故选：B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质．解题时，利用了角平分线的性质和圆周角定理，难度不大．